Konsep penggunaan turunan
Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) maksimum pada selang I bila f(a) > f(x) untuk
setiap x Î I. Sedangkan nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) minimum pada selang I bila f(a) <
f(x) untuk setiap x Î I.
Untuk menentukan jenis nilai ekstrim ( maksimum atau minimum ) dari fungsi f(x)
dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut :
1. Tentukan turunan pertama dan kedua, f '(x)dan f "(x)
2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f ' (x) = 0 ), misalkan nilai
stasioner adalah x = a
3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f "(a) < 0 , sedangkan nilai f (a) merupakan nilai
minimum bila f "(a) > 0 .
Contoh :
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f (x) = x4 + 2x3 + x2 - 5
Jawab :
Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi adalah
x = -1, x = - ½ dan x = 0. Turunan kedua, f "(x) = 12x2 +12x + 2 .
Untuk x = -1, f "(-1) = 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( -1 ) = -5.
Untuk x = - ½ ,f "( -1/2) = -1
f - 1 = - dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum f(-1/2) = -4 15/16
Untuk x = 0, f "(0) = 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( 0 ) = -5
Fungsi Monoton
Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila ( f x1) > f (x2) untuk
x1> x2 ; x1, x2 ÎI . Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila
f (x1) < f (x2) untuk x1> x2 ; x1, x2 ÎI . Fungsi naik atau turun disebut fungsi
monoton.
Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan
pengertian berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( a )
yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan a . Bila sudut
lancip (a < ½ p ) maka m > 0 dan m < 0 untuk a > ½ p. Karena gradien garis
singgung suatu kurva y = f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang
fungsi naik atau turun berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka selang
atau selang dimana fungsi monoton diberikan berikut :
1. Fungsi f(x) naik bila f ' (x)> 0
2. Fungsi f(x) turun bila f ' (x)< 0
Contoh :
Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi f (x) = x4 + 2x3 + x2 - 5
Jawab :
Turunan pertama, f '(x) = 4x3 + 6x2 + 2x .
Untuk f '(x) = 4x3 + 6x2 + 2x > 0 , maka fungsi naik pada –1 < x < - ½ atau x > 0
dan fungsi turun pada x < -1 atau – ½ < x < 0.
Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva
terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f
( x ) cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang
melalui titik tersebut.
Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I =(a,b). Jika f I naik pada I, f dan grafikya cekung ke atas di
teorema x
( Teorema Kecekungan ). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b.).
i. Jika f II ( x ) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).
ii. Jika f II ( x ) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).
Contoh :
f(x)= 1/3 x3 –x2 -3x +4 tentukan nilai kecekungan atas dan bawah
Jawab:
Penyelesaian
F’(x)= x2-2x-3= (x=1) (x-3)
F”(x)=2x-2= 2(x-1)
Dengan menyelesaikan pertaksamaan (x+1) (x-3) > 0 dan lawannya dapat kita simpulkan bahwa f naik pada (minustakhingga ,-1 )dan (3, takhingga ) serupa dengan penyelesaiaan
2(x-1)> 0 dan 2 (x-1)
Maksimum dan Minimum Lokal
Andaikan S daerah asal
F memuat titik c. kita katakana bahwa :
1)f( c ) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S
ii). f( c ) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S
iii). f( c ) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.
Teorema A
( Turunan pertama untuk ekstrim lokal ). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c
i. jika f’(x) >0 untuk semua x dalam (a,b), dan f’(x) <0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f’(x) <0 untuk semua x dalam (a,b), dan f’(x) >0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai minimun lokal f
iii. jika f’(x) >0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka f ( c ) bukan nilai ekstrim lokal f
Contoh :
Cari nilai ekstrim lokal dari f(x) = x2-8x + 4 pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f’(x) = x2 - 12x + 4 = 2x - 12
= 2 (x- 6)
f’(x) = 0 dan 6
karena f’(x) = 2 (x-6)<0 untuk x <6, f turun pada (-∞,6]
karena 2 (x-6)>0 untuk x>3, f naik pada [6, ∞)
karena itu, menurut uji turunan pertama , f(6) = 36-72+4 = -32 , adalah nilai minimum lokal.
Teorema B
( Turunan kedua untuk ekstrim lokal ). Andaikan f ‘ dan f” ada pada setiap titik pada selang terbuka (a,b) yang memuat c dan andaikan f’ ( c ) = 0.
i. jika f”(c) < o, f(c ) adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f”(c) < o, f(c ) adalah nilai maksimum lokal f
Contoh :
Carilah nilai minimun dan maksimum lokal dari f (x) = x3 +3/2x2 - 18x + 6
Penyelesaian :
Untuk f (x) = x3 +3/2x2 - 18x + 6 gunakan uji turunan
f (x) = x3 +3/2x2 - 18x + 6
f’(x) = 3x2 + 3x- 18 = x2 + x - 6 = (x+3) (x-2)
x = -3, x = 2
f”(x) = 6x + 3
f”(-3) = -15
f’’(2) = 15
menurut uji turunan kedua f”(-3)= -15 adalah nilai minimum lokal dan f’’(2) = 15 adalah nilai maksimum lokal.
1.4 Lebih Banyak Masalah Maks-Min
Ekstrim pada selang terbuka
Contoh :
Cari ( jika mungkin ) nilai minimum dari f(x) = x3 - 6 x2+ 9x - 6
pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f(x) = x3 - 6 x2+ 9x – 6
f’(x) = 3x2 - 12 x+ 9
= x2 - 4 x+ 3
(x-3) (x-1)
x = 3, x = 1
titik kritis 1,3
f(1) = x3 - 6 x2+ 9x – 6 = -2
f(3) = x3 - 6 x2+ 9x – 6 = 27-54+27-6 = 75
jadi f(1)= -2 adalah nilai miniumum lokal
Masalah-masalah Praktis
Contoh :
Sebuah bola dilemparkakan dalam arah vertikal ke atas. Tinggi bola h (dalam meter) setelah t detik di tentukan oleh h(t) = 120t – 6t2 (meter). Tentukan nilai h maksimum.
Penyelesaian :
h(t) = 120t – 3t2
h’(t) = dh/dt = 120 – 6t
h”(t) = d 2h / dt2 = -6
syarat perlu ekstrim dh/dt = 0
120 – 6t = 0
t = 20
Berdasarkan turunan kedua, karena h”(t) = d 2h / dt2 = -6 < 0 maka h mempunyai nilai maksimum. Nilai maksimum h adalah 2000 meter dicapai ketika t = 20.
1.5 Penerapan Ekonomik
Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x) yakni selisih antara pendapatan dan biaya
P(x) = R(x) – C(x) = xP (x) – C(x)
Contoh :
Sebuah Proyek bangunan dapat diselesaikan dalam tempo x hari dengan biaya proyek per hari sama dengan (3x + 1500/x - 90) juta rupiah. Tentukan biaya total minimum.
Penyelesaian :
P(x) = x (3x + 1500/x - 90 )
P(x) = 3x2 - 90x + 1500
P’(x) = 6x - 90
P”(x)= 6
Syarat perlu ekstrim yaitu P’(x) = 0
P’(x) = 6x - 90 = 0
x = 15
Berdasarkan uji turunan kedua P”(x) = 6 > 0 maka P(x) mencapai nilai minimum yaitu :
P(15) = 3 (15)2 -90(15) + 1500 = 675-1350+1500 = 825
Jadi biaya total minimum adalah 825 juta rupiah yang harus diselesaikan dalam tempo x = 15
1.6 Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Definisi
( Limit bila x = ∞ ). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk bilangan c.kita katakan bahma lim f(x)=L jika untuk masing-masing > 0, terdapat bilangan M yang
x- ∞
berpadanan sedemikian sehingga
x > M = [ f(x) – L ] <
Contoh :
Buktikan bahwa lim 2x / 4x + x2 = 0
x- ∞
Penyelesaian :
lim 2x / 4x + x2 = 0
x- ∞
= lim 2x/x2 : 4x/x2 + x2 /x2= 0
x- ∞
= lim 2/x : 4/x + 1 = 0
x- ∞
= 0 / 0+1 = 0 Terbukti
1.7 Teorema Nilai Rata-rata
Teorema A
(Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup
[a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a,b) , maka terdapat paling sedikit satu bilang c dalam (a,b) di mana
f(b) – f(a) : b – a = f’(c)
atau
f(b) – f(a) = f’(c) ( b - a )
Contoh :
Andaikan f(x) = 2x2 + 3x – 6 pada [2,4], cari semua bilangan c yang memenuhi kesimpulan terhadap teorema nilai rata-rata.
f’(x) = 4x +3
dan
f(4) – f(2) : 4-2 = 38 – 8 : 2 = 15
karena itu,
4c + 3 = 15
Atau secara setara,
4c - 12 = 0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar